Krátká odpověď je, že částice v kruhu je definována tak, že nemá žádný potenciální energetický člen (alespoň nad rámec toho, na co Karsten Theis poukázal). Jakmile do systému vložíte něco jiného, ​​pak už to není problém částice s kruhem.

Pokud to však chcete spojit s atomem vodíku, nezapomeňte, že ve vodíku atom, Coulombův potenciál je funkcí pouze $ r $ , tj.

$$ V ( r) = - \ frac {1} {r} $$

v atomových jednotkách. V částice na prstencovém modelovém systému je částice již omezena na určitou hodnotu $ r $ , takže i kdybychom hypoteticky představili Coulomb- zadejte potenciál $ \ propto 1 / r $ , to by byla jen konstanta. Účinkem konstantní potenciální energie je jen posunout každý vlastní stát v energii o stejné množství; nemá žádný skutečný fyzikální efekt.

Jaké jsou rozdíly v matematických řešeních? No, to už jistě víš; vlastní stavy atomu vodíku jsou atomové orbitaly, zatímco vlastní stavy částice na kruhu jsou jednoduše $ \ exp (\ mathrm im \ phi) $ s $ m \ in \ mathbb {Z} $ pro splnění okrajové podmínky.

Tento $ \ exp (\ mathrm im \ phi) $ výraz je samozřejmě součástí matematické formy atomových orbitalů. Je to proto, že když vyřešíte Schrödingerovu rovnici pro atom vodíku, můžete postupně oddělit různé stupně volnosti. Nejprve oddělíte bit, který závisí na $ r $ , který se stane radiální vlnovou funkcí $ R (r) $ . Pak musíte vyřešit úhlovou vlnovou funkci $ Y (\ theta, \ phi) $ a způsob, jak toho dosáhnout, je opět použít oddělení proměnných, tj. Předpokládat $ Y (\ theta, \ phi) = f (\ theta) g (\ phi) $ . Tím se dostanete k diferenciální rovnici, která vypadá jako $ (- 1 / g) (\ mathrm d ^ 2g / \ mathrm d \ phi ^ 2) = m ^ 2 $ span >, která má jako řešení řešení $ g = \ exp (\ mathrm im \ phi) $ . Přemýšlím o některých detailech, ale to je obecná myšlenka; konzultovat např. Griffithsův Úvod do kvantové mechaniky pro hloupé kousky.

Existuje nějaká potenciální energie: Potenciální energie je v prstenci konstantní a mimo ni nekonečně vysoká. Toto je idealizovaná situace podobná částice v krabici (jednorozměrný, dvojrozměrný, trojrozměrný).

Přestože jsou tyto modely umělé a ideální, lze je použít k odhadu vlastností určité sady molekul. Například můžete diskutovat o spektrech molekul s lineárně konjugovanými dvojnými vazbami pomocí modelu jednorozměrné částice v poli.

Při nastavování hamiltoniánu jste implicitně zavedli nekonečně vysoký potenciál hranicí podmínky a volba souřadnicových systémů. Volný elektron by se pohyboval ve třech rozměrech. U jednorozměrné částice v krabici omezuje výběr pouze jedné souřadnice elektron na jednu dimenzi a okrajové podmínky nulové elektronové hustoty na okrajích krabičky omezují elektron na určitou délku krabičky. U částice v kruhu můžete zvolit válcový souřadnicový systém, udržovat konstantní poloměr, výšku na - řekněme - nulu a udržovat úhel jako jedinou souřadnici hamiltonovské a vlnové funkce.